Мы можем разделить 3,2 на 10 (получаем 0,32) и умножить 10^>3 на 10 (10^>4). В результате получаем 0,32 × 10^>4, при этом величина также не изменилась.

Мы видим, что выражения 0,32 × 10^>4, 32 × 10^>2, 3,2 × 10^>3 являются одним и тем же числом. Тогда какой смысл менять одну форму на другую? С точки зрения корректности расчетов никакого смысла нет, а вот с точки зрения удобства проведения вычислений — безусловно есть. Целесообразно использовать такую форму экспоненциального выражения, когда неэкспоненциальная часть является числом от 1 до 10. В случае 32 × 10^>2 неэкспоненциальная часть больше 10, в случае 0,32 × 10^>4 неэкспоненциальная часть меньше 1. В случае 3,2 × 10^>3 неэкспоненциальная часть находится между 1 и 10, и это как раз та форма выражения, которая обычно используется.

Для чисел, меньших единицы, это правило также справедливо, за исключением деталей, касающихся экспоненциальной части. Например, рассмотрим число 0,0054. Его можно записать как 54 × 0,0001 или как 5,4 × 0,001. Каждое из этих выражений после перемножения даст один и тот же результат, 0,0054. В экспоненциальной форме это выглядит как 54 × 10^>-4, 5,4 × 10^>-3 или 0,54 × 10^>-2.

Эти выражения также эквивалентны. Как и в предыдущем примере, мы можем умножить 5,4 на 10, 10^>-3 разделить на 10. Деление 10^>-3 на 10 равноценно умножению на 10^>-1. Деление равноценно вычитанию одного показателя степени из другого (-3 - 1 = -4), то есть 10^>-3 разделить на 10 равно 10^>-3-1 или 10^>-4. Таким образом, мы превратили выражение 5,4 × 10^>-3 в 54 × 10^>-4, не изменив его величины.

При помощи аналогичных процедур мы можем превратить 5,4 × 10^>-3 в 0,54 × 10^>-2, не изменив его величины. Но на практике предпочтительнее использовать выражение 5,4 × 10^>-3, поскольку в этом случае неэкспоненциальная часть находится между 1 и 10.

К экспоненциальным числам применимы те же правила, как и к обычным числам.

В операциях сложения и вычитания участвуют только неэкспоненциальные составляющие чисел. Например, при сложении 2,3 × 10^>4 и 4,2 × 10^>4 получаем 6,5 × 10^>4. (Проверьте это утверждение, преобразовав экспоненциальные выражения в неэкспоненциальные: 23 000 и 42 000. Сложив их, вы получите 65 000. Такую же операцию можно осуществить со всеми примерами, которые я привел в этой главе. Таким образом, вы не только научитесь обращаться с экспоненциальными выражениями, но и на практике сможете убедиться, что не обязательно верить всему, что вам говорят, даже если это «что-то» напечатано в типографии.)

Сумма чисел 8,7 × 10^>4 и 3,9 × 10^>4 равна 12,6 × 10^>4. Ответ можно оставить в этом виде, хотя неэкспоненциальная часть больше 10. Можно также при помощи операций умножения—деления, описанных выше, привести выражение к более удобному виду: 1,26 × 10^>5. Этот ответ такой же правильный, как и предыдущий.

А как поступать, когда у чисел различается экспоненциальная часть? Чему будет равна сумма 1,87 × 10^>4 и 9 × 10^>2? Для того чтобы провести сложение, потребуется привести оба числа к такому виду, когда обе экспоненциальные части одинаковы. Например, 1,87 × 10