В качестве основания для системы счета можно выбрать и число меньше 10. Возьмем число 7, тогда система будет называться семеричной. Тогда нам нужно только 7 символов: 0, 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Число 435 в семеричной системе для перевода в десятеричную можно записать как (4 × 7^>2) + (3 × 7^>1) + (5 × 7^>0), что равно 196 + 21 + 5, или 222 в десятеричной системе.

Этот метод позволяет перевести число из одной системы счета в любую другую, причем он применим даже для десятичных дробей.

Выражение 0,15 в двенадцатеричной системе может быть представлено как (1 × 12^>-1) + (5 × 12^>-2), или 1/12 + 5/144, что равно 17/144 в десятеричной системе. В семеричной системе то же самое выражение можно представить как (1 × 7^>-1) + (5 × 7^>-2), или 1/7 + 5/49, что равно 12/49 в десятеричной системе.

Теперь давайте выясним, как определить, сколько отдельных символов необходимо для каждой отдельной системы счета. Первое число, для которого требуется два символа, — это 10 (в любой системе). Для всех чисел, меньших 10, требуются отдельные и разные символы. Все числа, большие 10, можно записать, используя комбинации символов чисел, меньших 10. Это правило, очевидно, справедливо для десятеричной системы, с которой мы так хорошо знакомы. Можно ожидать, что в других системах это правило тоже справедливо (в чем мы можем убедиться на практике).

Хорошо, теперь давайте выясним, чему равно значение выражения 10, например, в двенадцатеричной системе. Оно равно (1 × 12^>1) + (0 × 12^>0), или 12 + 0, или 12 в десятеричной системе. Аналогично в семеричной системе выражение 10 равно (1 × 7^>1) + (0 × 7^>0), или 7 + 0, или 7. Можно провести аналогичные операции и для других систем, и мы скоро убедимся, что в системе, основанной на каком-либо числе, выражение 10 соответствует именно этому числу. (В десятеричной системе 10, естественно, равно 10.)

В двенадцатеричной системе нам нужны отдельные цифры для каждого числа, меньшего 12, то есть 12 различных цифр, включая ноль. В семеричной системе нам нужны отдельные цифры для каждого числа, меньшего 7, то есть 7 различных цифр, включая ноль. Это правило справедливо для всех счетных систем. Скажем, в системе счета, основанной на 28, нам понадобятся 28 различных цифр, включая ноль.

Чтобы помочь вам глубже разобраться в этих правилах, я привожу таблицу символов для первых тридцати чисел в двенадцатеричной системе, в семеричной системе и в так хорошо нам знакомой десятеричной системе.

Для каждой счетной системы можно составить таблицы сложения и других арифметических действий. В двенадцатеричной системе 5 + 8 = 11, а 3 × 4 = 10. В семеричной системе 3 + 6= 12, а 5 × 3 = 21. Нам это может показаться странным, поскольку мы не используем подобные системы. Но если мы проводим все расчеты в рамках одной из таких систем, мы видим, что система также отвечает поставленным целям. Человечество остановилось на десятеричной системе по той простой причине, что на руках у человека десять пальцев, а вовсе не потому, что эта система более логична, чем любая другая.