Теперь, когда у нас есть значения логарифмов, то есть экспонент, можно их использовать при операциях умножения и деления.

Мы знаем, что при умножении показатели степени суммируются, значит, чтобы перемножить 3,2 и 2,4, достаточно сложить их логарифмы, 0,5051 и 0,3802, сумма которых равна 0,8853. Это пока только экспонента, то есть число, которое мы ищем, — это 10^>0.8853. Теперь надо опять обратиться к таблице антилогарифмов и найти антилогарифм 0,8853. Это 7,68. Таким образом, 3,2 × 2,4 = 7,68.

Если же мы хотим поделить 3,2 на 2,4, достаточно вычесть 0,3802 из 0,5051, что равно 0,1249. Антилогарифм этого числа равен 1,333, что и является ответом.

А теперь вернемся к примеру, с которого мы начали этот раздел: 6837 × 1822. Преобразуем эти числа в экспоненциальную форму и получим (6,837 × 10^>3) × (1,822 × 10^>3). Логарифм 10^>3— это просто 3, так как логарифм числа — это степень, в которую надо возвести 10, чтобы получить данное число. А для того чтобы получить 10^>3, очевидно, надо 10 возвести в третью степень. Точно так же логарифм 1012 равен 12, а логарифм 10^>-14 равен -14.

Логарифм числа 6,837 надо искать в таблице логарифмов более подробной, чем та, которая приведена в книжке. Он равен 0,83487. Тогда логарифм 6,837 × 10^>3 равен 0,83487 + 3 (вспомните, при перемножении чисел мы суммируем их логарифмы), или 3,83487.

Точно так же по таблице находим логарифм 1,822, который равен 0,26055, таким образом, логарифм 1,822 × 10^>3 равен 0,26055 + 3, или 3,26055.

Чтобы перемножить числа 6837 и 1822, нужно сложить их логарифмы, а затем найти антилогарифм суммы. Таким образом, логарифм произведения этих чисел равен 3,83487 + 3,26055, или 7,09542. Это число можно представить как 0,09542 + 7. Десятичная часть числа, в данном случае 0,09542, называется мантиссой, а целая, в данном случае 7, — характеристикой.

Антилогарифм числа — это просто число 10, возведенное в эту степень. Антилогарифм 0,09542 (определенный по таблице) равен 1,246, а антилогарифм 7 — это 10^>7. При переходе от логарифма к антилогарифму сложение заменяется умножением. Таким образом, антилогарифм равен 1,246 × 10^>7. Или в обычной, неэкспоненциальной форме 12 460 000.

Если вы просто перемножите 6837 на 1822 в столбик, то получите 12 457 014. Однако не следует забывать, что логарифмы — это приближенные величины, так что и результат мы можем получить только с определенным приближением.

Чтобы разделить 6837 на 1822, надо вычесть логарифм второго числа из логарифма первого, или 3,83487 — 3,26055 = 0,57432. Антилогарифм этого числа равен 3,752. Это и есть искомый ответ. Если вы выполните деление в столбик, то получите более точное выражение: 3,75192. Но как мы уже знаем, логарифмы — это приближенные величины.

Возможно, такой метод расчета показался вам громоздким и неэффективным, ведь мало того, что мы получаем приближенный результат, но надо еще искать ответы в двух таблицах. Не проще ли произвести умножение в столбик? Однако при инженерных и научных расчетах часто достаточно той точности, которую дает метод логарифмов. В то же время часто приходится проводить многократные операции деления и умножения, и метод логарифмов оказывается просто незаменим. Предположим, надо решить такой пример: (194,768 × 0,045 × 19,2