О правомерности данной интерпретации параметра b можно судить, если проанализировать формулу расчета коэффициента эластичности:
где f (х)' – первая производная, характеризующая соотношение прироста результата и фактора для степенной функции.
Коэффициент эластичности определяют и при наличии других форм связей, но лишь для степенной функции он представляет собой постоянную величину, которая равна параметру b. Во всех прочих функциях коэффициент эластичности зависит от значений фактора х. Для оценки параметров степенной функции используют метод наименьших квадратов (МНК), применяемый к линеаризованному уравнению:
ln y = ln а + b ln х + ln ε, (8)
где у – независимая переменная; а – константа; х – зависимая переменная; ε – остатки (разница между фактом и прогнозом, сделанным по данному уравнению); b – коэффициент линеаризованного уравнения регрессии, который после потенцирования становится коэффициентом эластичности в степенном уравнении регрессии:
у = ах>b (9)
Таким образом, оптимальным уравнением регрессии, позволяющим достаточно легко найти коэффициент эластичности, является нелинейное уравнение регрессии в виде степенной функции. Для того, чтобы найти степенное уравнение регрессии между зависимой переменной «ВВП РФ, в текущих ценах, млрд руб.» и независимой переменной «денежный агрегат M0 РФ, в млрд руб.», обозначим их символами, соответственно, как GDP_RU и M0_RU, а затем прологарифмируем и решим линеаризованное уравнение регрессии с помощью статистической программы EViews. Подробный вывод данных по решению данного уравнения регрессии представлен в таблице А.1. Приложения А.
Вкратце отметим, что в результате мы получили в логарифмическом виде следующее уравнение регрессии:
LOG(GDP_RU)= 3,655+ 0,834*LOG(M0_RU) (10)
Все коэффициенты уравнения у нас получились статистически значимыми с 0,05 уровнем надежности, а коэффициент детерминации R-squared оказался равен 0,987, то есть изменения независимой переменной M0_RU в 98,7 % случаев объясняет динамику зависимой переменной GDP_RU.
При этом, если сопоставить формулу (5) с формулой (4), то легко прийти к выводу, что цифра 3,655 представляет собой константу а, в то время, как цифра 0,834 представляет собой коэффициент эластичности b. После потенцирования получаем следующее степенное уравнение регрессии:
GDP_RU_= aM0_RU>b =38,68*M0_RU>0,834. (11)
Последнее уравнение можно интерпретировать следующим образом: в период с 2002 г. по 2012 г. рост объема денежного агрегата М0 на 1,0 % приводил к росту объема ВВП РФ на 0,834 % (коэффициент эластичности) при исходном уровне (его трактуют как гипотетическую величину ВВП, независимую от М0), равном 38,68 млрд рублей.
Вычисление коэффициента эластичности между ростом объема денежного агрегата М1 и ростом ВВП проведем аналогично. Для создания степенного уравнения регрессии между зависимой переменной «ВВП РФ, в текущих ценах, млрд руб.» и независимой переменной «денежный агрегат M1 РФ», обозначим их символами, соответственно, как GDP_RU и M1_RU, а затем прологарифмируем и решим линеаризованное уравнение регрессии с помощью статистической программы EViews. Подробный вывод данных по решению данного уравнения регрессии представлен в таблице А.2 Приложения А.