Все вышесказанное означает, что у нас расширяются возможности для замены умножения на сложение. Теперь мы можем перемножить 1/8 на 1024 при помощи экспонент, однако мы пока еще не выяснили, как можно перемножить 7 и 17.

Теперь мы знаем, что бывают как положительные, так и отрицательные экспоненты, и умеем с ними обращаться. А бывают ли дробные экспоненты? Прежде чем выяснить, что такое дробная экспонента, давайте разберемся с действием, обратным возведению в степень.

Мы с вами уже уяснили себе, что каждому математическому действию соответствует аналогичное, но обратное по направлению действие.

Для сложения таким обратным действием является вычитание, для умножения — деление. Теперь попробуем выяснить, какое действие является обратным для возведения в степень. Поскольку возведение в степень — это многократное умножение, то, очевидно, обратным действием будет многократное деление.

Например, 32 можно разделить на 2 и получить 16, затем 16 разделить на 2 и получить 8; затем 8 разделить на 2 и получить 4; затем 4 разделить на 2 и получить 2; наконец, затем 2 разделить на 2 и получить 1. В краткой форме эти действия можно записать как 32 : 2 : 2 : 2 : 2 : 2 = 1. (Как и в случае деления, которое мы изучали в третьей главе, наша задача заключалась в том, чтобы добраться до 1.) Поскольку мы произвели деление 5 раз и добрались до 1, то можно сказать, что 2 — это корень пятой степени из 32.

Если мы рассмотрим число 81, то увидим, что 81 : 3 : 3 : 3 : 3 = 1, таким образом, 3 является корнем четвертой степени из 81. (Почему, собственно, корнем? Откуда взялось это слово? Это можно объяснить таким образом: число 32 растет из основания 2, а 81 — из основания 3 так же, как растение произрастает из корней.)

Такая математическая операция обозначается как √. На разнообразие корней указывает число в верхней левой части корня. Так, корень пятой степени из 32 можно записать как ^>5√32 . корень четвертой степени из 81 можно записать как ^>4√81. Значок √ называется знаком радикала, а числа, содержащие корни, называются радикалами. Слово «радикал» пришло к нам из латыни, где оно означает просто «корень».

Мы редко встречаемся с корнями высоких степеней, чаще всего приходится иметь дело с операциями, обратными возведению во вторую степень, то есть в квадрат. Извлечение корня второй степени называется извлечением квадратного корня, а ^>2√ называется квадратным корнем, причем двойка слева часто опускается. В дальнейшем под значком √ без цифры в верхнем левом углу мы всегда будем иметь в виду квадратный корень.

Что же такое квадратный корень из числа? 25 — это квадрат 5, таким образом, можно сказать, что 5 — это квадратный корень из 25, или √25 = 5. Поэтому следует говорить «пять — это корень второй степени из 25», но обычно употребляют формулировку «квадратный корень». (Точно так же корень третьей степени называют кубическим корнем.)

Следующая проблема заключается в том, чтобы выяснить, как найти корень такой- то из некоего числа. Здесь можно идти путем от противоположного. Предположим, мы знаем, что 2