Объем куба со стороной, равной единице, равен соответственно одной кубической единице (1 × 1 × 1 = 1). Объем куба со стороной, равной 2, равен соответственно 2 × 2 × 2 = 8, или восьми кубическим единицам. Можно продолжить такие вычисления, и тогда мы получим, что объем кубов со сторонами 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и так далее равен соответственно 1, 8, 27, 64, 125, 216 и так далее. Эти числа можно представить в виде 1 × 1 × 1; 2 × 2 × 2; 3 × 3 × 3; 4 × 4 × 4; 5 × 5 × 5; 6 × 6 × 6 и так далее.

И квадраты, и кубы легко представить, так как мы часто встречаем такие фигуры в обыденной жизни. Но можно отойти от геометрических представлений и составить числовой ряд, где каждое число является произведением четырех, пяти, или шести, или любого другого количества одинаковых сомножителей.

Последовательное перемножение одного и того же числа на себя самое является операцией, которая очень часто используется в математике. В свое время, когда мы рассматривали повторные многократные операции сложения, мы ввели новое понятие и новую математическую операцию — умножение. Например, мы заменили 6 + 6 + 6 + 6 на 6 × 4. Точно так же часто используемую операцию умножения 6 × 6 × 6 × 6 можно кратко записать при помощи нового символа, степенного выражения: 6^>4.

Что означает 6^>4? Только то, что мы перемножаем число 6 на само себя четыре раза, или 6 × 6 × 6 × 6. Число 10^>5 — это 10 × 10 × 10 × 10 × 10, а 3^>2 — это 3 × 3.

Можно записать ряд квадратов чисел (1^>2, 2^>2, 3^>2, 4^>2, 5^>2, 6^>2, 7^>2 и так далее) и ряд кубов чисел (1^>3, 2^>3, 3^>3, 4^>3, 5^>3, 6^>3, 7^>3 и так далее).

Число, которое набрано мелким шрифтом справа вверху от основного числа, называется показателем степени, или экспонентой. Число, содержащее экспоненту, называется экспоненциальным числом. Число, которое возводят в степень, то есть умножают само на себя, называют основанием экспоненциального числа. В выражении 6^>4 число 6 — это основание, 4 — экспонента.

Повторное перемножение числа на самое себя называется возведением в степень. Так, 6^>4 — это шесть в четвертой степени, аналогично 10^>5 — это десять в пятой степени. Можно также сказать просто: шесть в четвертой или десять в пятой. 3^>2 и 3^>3 можно назвать как три во второй или три в третьей, но чаще, следуя греческой традиции, их называют три в квадрате или три в кубе.

Экспоненциальные числа открывают большие возможности, они позволяют нам преобразовать умножение в сложение, а складывать гораздо легче, чем умножать.

Например, нам надо умножить 16 на 64. Произведение от умножения этих двух чисел равно 1024. Но 16 — это 4 × 4, а 64 — это 4 × 4 × 4. То есть 16 на 64 = 4 × 4 × 4 × 4 × 4, что также равно 1024.

Число 16 можно представить также в виде 2 × 2 × 2 × 2, а 64 как 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2, и если произвести умножение, мы опять получим 1024.

А теперь используем экспоненциальные выражения. 16 = 4^>2, или 2^>4, 64 = 4^>3, или 2^>6, в то же время 1024 = 64 × 16 = 4^>5, или 2^>10.

Следовательно, нашу задачу можно записать по-другому: 4^>2 × 4^>3 = 4^>5 или 2^>4 × 2^>6 = 2^>10, и каждый раз мы получаем 1024.