На практике арифметический метод определения корней заключается в серии обратных действий. Попробуем извлечь квадратный корень из 625. Схема вычислений будет следующей:

Первую цифру ответа, 2, мы получаем подбором. Мы знаем, что 2 × 2 = 4, это ближайшее возможное число, меньшее 6, поскольку 3 × 3 = 9, что больше 6. Затем проводим вычитание и выносим две цифры вместо одной, как это принято при обычном делении в столбик. (Если бы мы извлекали кубический корень, мы выносили бы три цифры, в случае корня четвертой степени — четыре цифры и так далее.) Чтобы получить следующую цифру, надо разделить 225 на 45. Цифру 45 вы получаете, удваивая первую цифру ответа, что дает вам 4. Вторая цифра должна быть равна второй цифре вашего ответа, таким образом, ее тоже можно найти подбором, так, чтобы получить число, ближайшее к 225. Цифра 5 подходит наиболее точно, так как 5 × 45 = 225.

Этот процесс может показаться вам очень трудным, и вы будете совершенно правы. Вычислять корни чисел арифметическим способом очень трудно, но результаты оказываются полезными при различных расчетах.

Рассмотрим следующий пример. Чему равен √2 ? Какое число надо возвести в квадрат, чтобы получить 2?

Мы можем сразу определить, что среди целых чисел такого числа нет, ведь 1 × 1 = 1, а 2 × 2 = 4. Первое число слишком мало, а второе слишком велико. Следовательно, ответ будет дробным числом.

А может ли вообще существовать квадратный корень в виде дробного числа? Почему же нет? Согласно нашему определению экспоненциальных выражений (1^>2/_>5)^>2 — это 1^>2/_>5 × 1^>2/_>5, и ответом является число 1^>24/_>25. А это, в свою очередь, означает, что √1^>24/_>25 равен 1^>2/_>5. Теперь мы убедились, что не только квадратный корень может быть дробным числом, но и квадрат числа также может быть дробным числом. И в обоих случаях справедливы те же правила, что и в случае целых чисел.

Кроме того, случайно оказалось, что число 1^>24/_>25, будучи умноженным на себя самое, дает результат, близкий к 2. Отсюда следует, что 1^>2/_>5 близко к √2. Только 1/25 отделяет нас от искомого ответа, так как (1^>2/_>5)^>2 — это 1^>24/_>25, а нам нужно получить число 1^>25/_>25, то есть 2.

Но можно получить и более точный ответ. Если помножить дробное число 1^>41/_>100 на себя самое, мы получим 1^>9881/_>10000, что гораздо ближе к 2. Может показаться, что, если делать более точные вычисления, мы рано или поздно найдем точное значение дробного числа, которое является корнем квадратным из 2, хотя, возможно, это будет очень сложное число.

Но так ли это, вот в чем вопрос.

Сравниваем линии

Впервые поиском корня квадратного из 2 занялись еще математики Древней Греции. Как я вам уже говорил, они в первую очередь были геометрами, их интересовали соотношения длин отрезков геометрических фигур. Например, если провести диагональ в прямоугольнике, как показано на рисунке, то в каком соотношении будут находиться длина диагонали и длины сторон прямоугольника? Очевидно, что диагональ длиннее, но насколько? Древние греки хотели найти ответ на этот вопрос.