Любая группа чисел, которая может быть представлена в виде последовательности, подчиняющейся какому-то правилу, образует ряд.

Числа, являющиеся количеством точек, из которых можно составить квадрат, тоже можно представить в виде ряда. Как и в прошлый раз, одну точку можно рассматривать как сверхмикроскопический четырехугольник. Четыре точки также образуют четырехугольник, у которого по две точки на каждой стороне. Девять точек образуют уже больший четырехугольник, у которого по три точки на каждой стороне, а шестнадцать точек — четырехугольник, у которого по четыре точки на каждой стороне.

Можно записать четырехугольные числа в ряд: 1, 9, 16, 25, 36, 49 и так далее. Каждое следующее четырехугольное число образует четырехугольник, у которого на каждой стороне на одну точку больше. Ряд четырехугольных чисел можно продолжать бесконечно.

Проанализировав числа, составляющие ряд четырехугольных чисел, мы увидим, что они тоже подчиняются определенной зависимости. Начнем с 1. Здесь нет вариантов, единица — это просто единица. Но уже 4 = 1 + 3, далее 9 = 1 + 3 + 5, 16=1+3 + 5 + 7 и так далее.

Таким образом, каждое число является суммой последовательных нечетных чисел, первое из которых единица.

Соотношение между числами треугольного и квадратного рядов показано на диаграмме.

Соотношения в рядах треугольных и квадратных чисел

У греков был также ряд пентагональных чисел, которые представлены на рисунке. Этот ряд можно рассматривать как некий синтез треугольных и четырехугольных рядов. Если мы построим несколько пятиугольников таким же образом, как строили треугольники и четырехугольники, то получим числовой ряд вида 1, 5, 12, 22, 35, 51, 70 и так далее. Это ряд чисел, которые получают сложением чисел, отличающихся друг от друга на три. Первый член ряда — это единица. Второй — 5, то есть 1 + (1 + 3) = 1 + 4. Третий — 12, то есть 1 + 4 + (4 + 3) = 1 + 4 + 7, четвертый — 22, то есть 1 + 4 + 7 + 10, и так далее.

Греки изобрели и другие геометрические фигуры, моделирующие числовые ряды. Числа, составляющие такие последовательности, называются фигурными. Некоторые фигурные числа моделируются уже не плоскими фигурами, как треугольник и квадрат, а объемными, например кубами. Такие кубы трудно изобразить на рисунке, но если вы внимательно посмотрите на числовой ряд, вы сможете составить себе какое-то представление о кубической фигуре из точек. Серия кубических чисел — это ряд 1, 8, 27, 64, 125 и так далее.

Ряд кубических чисел также представляет собой ряд сумм нечетных чисел, правда, эти суммы не начинаются с единицы. Первый член ряда — это 1, второй — 8 или 3 + 5; третий — это 27 или 7 + 9 + 11; четвертый — это 64 или 13 + 15 + 17 + + 19. Каждая группа чисел, которые надо суммировать, начинается с нечетного числа, следующего за тем, которое завершало предыдущую сумму, а количество слагаемых в каждой следующей сумме на одно больше, чем в предыдущей.

Все ряды, которые мы до сих пор рассматривали, составляются при помощи повторных операций сложения. Но существуют и другие виды рядов, например ряд, который составляется при помощи повторного умножения.