⅙ ($1) + ⅙ ($2) + ⅙ ($3) + ⅙ ($4) + ⅙ ($5) + ⅙ ($6) = 21/6, или $3,50.

На первый взгляд, математическое ожидание 3,50 доллара кажется относительно бесполезной величиной. В конце концов, вы не можете фактически заработать 3,50 доллара в результате однократного подбрасывания игральной кости (так как ваш доход в любом случае должен равняться целому числу). На самом деле математическое ожидание представляет собой чрезвычайно мощный инструмент, поскольку он может сказать вам, является ли то или иное событие «справедливым», учитывая его цену и ожидаемый исход. Допустим, вам предлагают поучаствовать в описанной выше игре при ставке 3 доллара за каждое подбрасывание игральной кости. Имеет ли смысл соглашаться на такие условия? Да, поскольку математическое ожидание исхода (3,50 доллара) выше, чем стоимость игры (3,00 доллара). Это не означает, что вы обязательно заработаете деньги в результате однократного подбрасывания игральной кости, но помогает уяснить, на какой риск стоит пойти, а на какой – нет.

Этот гипотетический пример можно применить к профессиональному американскому футболу. Как указывалось ранее, после тачдауна команда может либо пробить и заработать дополнительное очко, либо попытаться выполнить двухочковую конверсию. Первый вариант предполагает такой удар по мячу с трехъярдовой линии, в результате которого мяч должен пройти между стойками ворот; второй вариант предполагает пробежку или передачу мяча в концевую зону с трехъярдовой линии, что значительно труднее. Команда может предпочесть более легкий вариант и заработать одно очко или выбрать более сложный вариант и заработать два очка. Как быть?

Возможно, статистики не играют в футбол и не назначают свиданий девушкам из группы поддержки, но они могут предоставить ценное статистическое руководство футбольным тренерам{36}. Как указывалось ранее, вероятность выполнения удара после тачдауна равняется 0,94. Это означает, что математическое ожидание попытки заработать одно очко после тачдауна также составляет 0,94, поскольку оно равняется «доходу» (1 очко), умноженному на вероятность успеха (0,94). Никакая команда не может заработать 0,94 очка, но эта величина помогает оценить данный вариант действий после тачдауна в сравнении с альтернативным вариантом (двухочковой конверсией). Математическое ожидание в случает «погони за двумя очками» оказывается гораздо меньшим: 0,74. Да, «доход» выше (2 балла), но вероятность успеха существенно ниже (0,37). Очевидно, если играть осталось совсем немного и для победы команде требуются два очка, то ей не остается ничего другого, как попытать счастья с двухочковой конверсией. Но если цель команды – максимизация количества набранных очков, и она располагает для этого определенным запасом времени, то вариант с зарабатыванием одного очка для нее более приемлем.

Такой же базовый анализ может показать, почему не стоит покупать лотерейные билеты. В Иллинойсе вероятности, связанные с разными возможными выигрышами в лотерее, напечатаны на оборотной стороне каждого билета. Я купил за 1 доллар один билет мгновенной лотереи. (Интересно, облагается ли эта сумма налогом?) На его оборотной стороне напечатаны – микроскопическим шрифтом – шансы выиграть различные денежные призы или получить еще один такой же билет (бесплатно): 1 шанс из 10 (бесплатный лотерейный билет); 1 шанс из 15 (2 доллара); 1 шанс из 42,86 (4 доллара); 1 шанс из 75 (5 долларов) и т. д. вплоть до 1 шанс из 40 000 – 1000 долларов. Я подсчитал ожидаемый доход для моего билета мгновенной лотереи, сложив все возможные варианты выигрыша денежного приза с весовыми коэффициентами, равными вероятности выигрыша каждого из этих денежных призов