Будем впредь полагать, что первые две части спектра: дискретная часть и непрерывная часть, возрастающая [c.274] на множестве меры нуль, — отсутствуют. В этом случае можно написать

где φ (ω) — спектральная плотность. Если φ (ω) принадлежит к классу Лебега L^>2, то можно написать

Как видно по автокорреляционной кривой мозговых волн, преобладающая часть мощности спектра сосредоточена в окрестности частоты 10 гц. В таком случае φ (ω) будет иметь форму, подобную следующей диаграмме:

Два пика около 10 и —10 суть зеркальные изображения друг друга.

Известны различные способы численного выполнения разложения Фурье, включая применение интегрирующих приборов и цифровые вычислительные процессы. В обоих случаях неудобством является то, что главные пики расположены около 10 и —10, а не около 0. Но существуют способы переноса гармонического анализа в окрестность нулевой частоты, которые весьма сокращают объем работы. Заметим, что

Другими словами, если умножить С(t) на е^{>20π it}, то новый гармонический анализ даст нам полосу вблизи нулевой частоты и другую полосу вблизи частоты +20. Таким образом, если произвести такое умножение и исключить полосу вблизи +20 методами усреднения, равносильными применению волнового фильтра, то мы сведем наш гармонический анализ к гармоническому анализу в окрестности нулевой частоты. [c.275]

Но

Следовательно, действительная и мнимая части функции С(t)е^>20πit равны соответственно

С(t) cos 20πt и iС(t) sin 20πt.

Частоты в окрестности +20 можно исключить, пропустив эти две функции через фильтр нижних частот, что равносильно усреднению по интервалу в одну двадцатую секунды или более.

Пусть мы анализируем кривую, у которой бо́льшая часть мощности сосредоточена вблизи частоты 10 гц. Умножив эту кривую на косинус или синус от 20πt, получим кривую, являющуюся суммой двух составляющих: одна из них ведет себя локально примерно так:

а другая — примерно так:

Усреднив вторую кривую по интервалу в 0,1 сек, получим нуль. Усреднив первую кривую, получим половину максимальной высоты. Таким образом, сглаживая С(t) cos 20πt и iС(t) sin 20πt, мы получим хорошие приближения соответственно к действительной и мнимой части некоторой функции, имеющей все свои частоты в окрестности нуля, и эта функция будет обладать таким же распределением частоты вокруг нуля, какое одна часть спектра кривой C(t) имела вокруг 10.

Обозначим теперь через K_>1(t) результат сглаживания произведения С(t) cos 20πt, а через K_>2(t) — результат сглаживания произведения С(t) sin 20πt. Мы хотим найти [c.276]

Выражение (10.07) должно быть действительным, так как это спектр. Следовательно, оно будет равно

Другими словами, если найти косинус-преобразование от K_>1 и синус-преобразование от K_>2 и сложить их друг с другом, то мы получим смещенный спектр функции f. Можно показать, что K_>1 будет четной, a K_>2 — нечетной функцией. Стало быть, если определить косинус-преобразование от K_>1 и прибавить или вычесть синус-преобразование от