, друг с другом (если n четно)[195], и образовав

 

          (10.14)

Если n нечетно, то

 

          (10.15)

Другая важная теорема, касающаяся этих стохастических интегралов, гласит: пусть F{g} — функционал [c.281] от g(t), такой, что F[x(t, α)] есть функция, принадлежащая к L по α и зависящая только от разностей x(t_>2, α)—х(t_>1, α); тогда для любого t_>1 и почти всех α

 

          (10.16)

Это эргодическая теорема Биркгоффа, доказанная некогда автором[196] и другими.

В упомянутой статье из «Acta Mathematica» установлено, что если U — действительное унитарное преобразование функции K(t), то

 

,          (10.17)

где β отличается от α только сохраняющим меру преобразованием интервала (0, 1) в себя.

Пусть теперь К(t) принадлежит к L^>2, и пусть

 

          (10.18)

в смысле Планшереля[197]. Рассмотрим действительную функцию

 

,          (10.19)

изображающую отклик линейного преобразователя на броунов вход. Она будет иметь автокорреляцию

 

,          (10.20)

[c.282]

которая, в силу эргодической теоремы, почти для всех значений α будет равна

 

          (10.21)

Тогда спектр почти всегда будет равен

 

          (10.22)

Но это истинный спектр. Выборочная автокорреляция за время усреднения А (в нашем случае 2700 сек) будет равна

 

          (10.23)

В результате выборочный спектр почти всегда будет иметь временно́е среднее

 

          (10.24)

Следовательно, выборочный спектр и истинный спектр будут иметь одно и то же среднее значение по времени.

Для многих целей нам интересен приближенный спектр, в котором интегрирование по т производится только по интервалу (0, В), где В в описанном выше частном случае равно 20 сек. Напомним, что f(t) — действительная функция, а автокорреляция — симметрическая [c.283] функция. Поэтому интеграл от 0 до В можно заменить интегралом от —В до В:

 

          (10.25)

Эта величина будет иметь среднее значение

 

          (10.26)

Квадрат приближенного спектра в интервале (—В, В) будет равен

 

а эта величина будет иметь среднее значение

 

 

 

 

[c.284]

 

 

 

 

.          (10.27)

Как известно, если m обозначает среднее, то

 

          (10.28)

Таким образом, среднеквадратическая ошибка приближенного выборочного спектра будет равна

 

          (10.29)

Но

 

          (10.30)

Следовательно, интеграл

 

          (10.31)

равен величине 1/А, умноженной на текущее взвешенное среднее от g(ω). Если усредняемая величина приблизительно постоянна в малом интервале 1/А, как [c.285] можно здесь разумно предположить, мы получим как приближенную главную часть среднеквадратической ошибки в любой точке спектра выражение

 

          (10.32)

Заметим, что если приближенный выборочный спектр имеет максимум при u=10, то величина этого максимума

 

          (10.33)

Эта величина при гладкой функции q(ω) мало будет отличаться от │q(10)│^>2. Среднеквадратическая ошибка спектра, отнесенная к этой величине как единице измерения, будет равна

 

          (10.34)

и, следовательно, не превосходит

 

          (10.35)

В рассматриваемом случае она равна

 

          (10.36)

Если допускать реальность явления провала, или, по крайней мере, реальность крутого падения нашей кривой на частоте около 9,05