Итак, какими будут обозначения в системе счисления с основанием минус 2?

Очевидно, что в этой системе счисления числа должны выражаться как суммы степеней числа 2. Последовательность степеней числа —2: -2, 4, -8, 16, -32…

Она отличается тем, что нечетные степени оказываются отрицательными (-2 х —2 = +4, но —2 х —2 х —2 = —8). Таким образом, вам нужно выразить числа как сумму этих положительных и отрицательных степеней.

Вы можете усомниться, можно ли этого добиться для любого числа? Да, можно. Вы можете таким способом записать любые положительные и отрицательные числа (при этом вам не понадобятся знаки плюс и минус, которыми вы обозначаете положительное это число или отрицательное в десятичной системе). В целом для того, чтобы отобразить число в системе счисления с основанием минус 2, нужно больше разрядов, чем в обычной двоичной системе.

Перед тем, как мы начнем считать, нужно решить еще одну проблему. Какие цифры мы станем использовать в минус двоичной системе? 2? 0 и 1? 0 и -1? Или нечто совершенно другое?

В системах с нормальным основанием количество цифр равно основанию. В десятичной системе десять цифр, в двоичной — только две цифры.

Если бы вы стали буквально следовать этому правилу, то пришли бы к заключению, что в минус-двоичной системе должно быть минус две цифры — это даже меньше, чем вообще ни одной цифры.

Правила создаются для того, чтобы их нарушать, и все же есть изящные нарушения правил и неряшливые нарушения. Вам нужно сохранить «дух» позиционной системы счисления и перенести его на «инопланетную» почву отрицательных чисел. Правило, что количество цифр равно основанию, неприменимо для систем счисления с негативным основанием.

Наиболее очевидное решение использовать цифры 0 и 1. Это те же цифры, которые используются в обычной двоичной системе счисления. Альтернативное решение, возможно, более соответствующее духу минус двоичной системы счисления, — использовать цифры 0 и —1, причем последняя цифра должна восприниматься как единый символ. Хотя это несколько трудно и тяжеловесно. Остановимся на более простом варианте с цифрами 0 и 1.

Единицу можно просто записать как 1 (это значит 1 х (-2) в нулевой степени).

С двойкой сложнее. Вторая позиция, считая справа налево, — это —2. Это значит, что 10 (в минус двоичной системе) будет 1 х (-2) в первой + 0 х (-2) в нулевой = —2 + 0, или —2.

Попробуйте 111. Это 1 х (-2) в квадрате + 1 х (-2) в первой + 1 х (-2) в нулевой = 4 + (-2) + 1 = 3. Теперь замените единицу на ноль в первой справа позиции: 110 = 4 + (-2) + 0 = 2. Итак, вот что мы должны написать в минус двоичной системе для того, чтобы получилась двойка, — 110.

И мы только что выяснили, что тройка в минус двоичной системе — 111.

С четверкой все просто. Третья позиция — это 4, как и в обычной двоичной системе. Четыре записывается как 100.

Если вы поставите единицу в крайней справа позиции, то получится пятерка в минус двоичной системе, или 101.

Для того чтобы получилось шесть, не стоит ставить 1 во второй или четвертой позициях справа, так это дает негативные числа (соответственно —2 и —8). Вам нужно перепрыгнуть на пятую позицию, единица в которой обозначает +16. Таким образом, 10 000 — это 16. Это слишком много, но 11 000 — это 16 + (-8) = 8. Отнимите от этого числа двойку — для этого нужно поставить 1 во второй справа позиции (11 010), и вы запишете шестерку в минус двоичной системе.