Этот результат нужно снова умножить на (-1/2 + 1/2√3i).

Две мнимые составляющие этого выражения (-1/4√3i) и (-1/4√3i) в сумме дают 0, так что ими можно пренебречь. Число 3/4i^>2 является действительным числом, так как i^>2 = -1, то есть 3/4i^>2 = -3/4. Добавим к 3/4оставшийся промежуточный результат 1/4 и получим 1. Итак, (-1/2 + 1/2√3i)^>3 равно 1.

Точно так же можно возвести в третью степень число (-1/2 - 1/2√3i).

(-1/2 - 1/2√3i) × (-1/2 - 1/2√3i) × (-1/2 - 1/2√3i) = 1.

Точно так же можно показать, что у числа -1 есть три корня третьей степени, два из которых комплексные, по три кубических корня и у чисел i и -i.

На нашем «шахматном» шаблоне можно изобразить также третью линию, или ось, так, чтобы помимо направлений север, юг, запад и восток у нас появились направления «внутрь» и «наружу». Таким образом, наша «шахматная доска» из плоской фигуры превращается в объемную фигуру. Теперь точно так же, как в свое время мы получили сетку на плоскости, мы можем составить мозаику из кубиков.

Третья ось состоит из гипермнимых чисел, которые обозначаются буквой j. На гипермнимой оси также имеется положительная и отрицательная области, где, соответственно, расположены положительные (+1j, +2j, +3j, +4j, +5j, +6j и т. д.) и отрицательные (-1j, -2j, -3j, - 4j, -5j, -6j и т. д.).

Теперь числа располагаются в пространстве, на точках пересечения плоскостей север—юг, запад—восток и «внутрь» и «наружу». При пересечении этих плоскостей образуются кубы, принцип тот же, что и при образовании квадратов на нашем «шахматном шаблоне». Каждая точка такого пространства имеет собственные координаты, которые являются гиперкомплексным числом.

Нам легко представить себе три оси в пространстве, поскольку это привычные три измерения: длина, ширина и высота. Однако математики оперируют с большим количеством измерений. Иногда они работают даже в таких системах, где точное количество осей не определено. Тогда говорят об «n-мерном пространстве», где n — это любое число.

Каждый, кто начинает думать о числах, неизбежно приходит к выводу, что существует огромное количество чисел, и совершенно непонятно, как можно его выразить. На помощь приходит поэзия. Мы можем сказать, что чисел так же много, как песчинок в пустыне, как капель воды в океане или как мерцающих звезд на небе. Но для математика такие сравнения бесполезны. С точки зрения математика, мы можем к любому числу прибавить единицу и получить следующее число, затем к полученному числу прибавить единицу и так далее. Поскольку в математике нет никаких ограничений для операций сложения, можно сложить любые два числа, и, следовательно, этот процесс бесконечен. Таким образом, мы можем взять сколь угодно большое число, прибавить

к нему единицу и получить еще большее. Мы можем представить себе число, протяженность которого равна расстоянию до дальней звезды, но и к нему можно прибавить единицу и получить еще большее число.