Предположим, что Виктор решает охотиться на оленя с вероятностью σ>оленя («σ» – вероятность), а наловить кроликов – с вероятностью (1 – σ>оленя). Тогда, если Виктор охотится на оленя с вероятностью а и ловит кроликов с вероятностью (1 – σ>оленя), ожидаемый выигрыш (ЕР) для Эстер, если та решит поохотиться на оленя, будет такой:
ЕР для Эстер, если она охотится на оленя = = (3) (σ>оленя) + (0) (1 – σ>оленя).
Если Эстер ловит кроликов:
ЕР для Эстер, если она ловит кроликов = (2) (σ>оленя) + (1) (1 – σ>оленя).
Теперь, если мы примем, что EP>оленя = EP>кроликов, действия Виктора окажутся безразличны для выигрыша Эстер в случае изменения им выбора. Поэтому изменение выбора Виктора для Эстер приемлемо (ее точка безразличия будет достигнута):
(3) (σ>оленя) + (0) (1 – σ>оленя) = (2) (σ>оленя) + (1) (1 – σ>оленя)
3σ>оленя = 1 + σ>оленя
2σ>оленя = 1
σ>оленя = 1/2.
Следовательно, Эстер не заботит, будет ли Виктор с вероятностью 1/2 охотиться на оленя или ловить кроликов с вероятностью 1/2. Его выбор не повлияет на ее выигрыш. Поэтому смешанная стратегия Виктора может привести к уравнению Нэша для смешанной, а не для чистой стратегии.
В этом уравнении аналогичные вычисления показывают, что смешанная стратегия работает иначе. Для выигрыша Виктора не имеет значения, предпочтет ли Эстер охотиться на оленя с вероятностью 1/2 или ловить кроликов с такой же вероятностью. Поэтому когда каждый игрок выбирает оленя или кроликов с вероятностью 1/2, его выбор описывает уравнение Нэша для смешанной стратегии.
Игры с нулевым результатом
В игре типа «победитель получает всё» каждая ячейка в матрице выигрышей будет включать и победителя, и побежденного. В приведенном ниже примере два игрока одновременно передвигают покерные фишки по столу.
В этой игре нет уравнения Нэша для чистой стратегии – у игроков нет возможности получить максимальную выгоду одновременно.
Давайте взглянем на уравнения смешанной стратегии, где каждый игрок делает свой выбор с определенной вероятностью (мы снова будем исходить из того, что в этой игре много раундов). Игрок подбрасывает монетку, чтобы решить, двигать ему фишку вверх или вниз. В результате он случайным образом выбирает то или иное направление в 50 % случаев. Следовательно, ожидаемый выигрыш при передвижении фишки влево составит:
EP>влево = (0,5) (–3) + (0,5) (1) = –1.
При передвижении фишки вправо ее ожидаемый выигрыш будет равен:
EP>вправо = (0,5) (2) + (0,5) (0) = 1.
Поэтому, если игрок подбрасывает монетку, чтобы решить, двигать ему фишку вверх или вниз, он должен выбрать движение фишки вправо в качестве чистой стратегии, потому что в этом случае ожидаемый выигрыш будет выше, чем при передвижении фишки влево. Поскольку он это знает, то не собирается делать рандомизированный выбор, подбрасывая монетку.
Как мы уже видели, анализ с помощью теории игр позволяет воспользоваться алгеброй для создания идеального уравнения Нэша для смешанной стратегии. Снова выявляем точку безразличия соперников среди прочих чистых стратегий. Вероятность того, что игрок («он») передвинет фишку вверх, становится неизвестной величиной σ