Количество обходов окружности примем за y. Увеличив угол AOB в x раз, мы обошли окружность (360°) · y раз. Таким образом, получается, что ∠ AOB · x = 360° · y. Следовательно, ∠ AOB = (360 · y): x, т. е. чтобы найти величину угла надо количество обходов окружности умножить на 360° и разделить получившийся результат на количество отложенных хорд. Как видим, задача решается действительно безо всяких измерений. Также она не требует никаких познаний в геометрии, кроме того, что окружность состоит из 360°. Данная задача не столько геометрическая, сколько логическая. Кстати, при отсутствии циркуля можно начертить окружность с помощью булавки и нитки и отложить хорду, используя те же приспособления.
170. 888 + 88 + 8 + 8 + 8 = 1000
171. Один из отцов приходится другому сыном, т. е. речь идет не о четырех людях, а о трех – это дед, сын и внук. Дед дал сыну 500 рублей, а тот отдал внуку (т. е. своему сыну) 400 рублей. Таким образом, два сына вместе увеличили количество денег на 500 рублей.
172. Площадь основания широкой коробки в 2 × 2, т. е. в четыре раза больше, чем узкой, а высота ее в три раза меньше. Значит, объем широкой коробки в 4/3 раза больше, чем узкой. Таким образом, низкая, но широкая коробка более вместительна, чем высокая, но узкая. Если содержимое высокой коробки переместить в низкую, оно заполнит собой только 3/4 ее объема.
173. Примем первое из искомых чисел за х, тогда второе последовательное число будет х + 1, а третье х + 2. В этом случае квадрат среднего числа будет (х + 1)>2, а произведение двух остальных чисел – х(х + 2). Так как квадрат среднего числа должен быть на единицу больше двух остальных чисел, то можно составить уравнение:
(х + 1)>2 = х(х + 2) + 1
Преобразовав, получаем равенство:
x>2 + 2х + 1 = x>2 + 2х + 1,
которое свидетельствует о том, что оно выполняется при всех значениях х, т. е., любые три последовательных числа обладают требуемым свойством. Например, возьмем числа 2, 3, 4:
3>2 = 2 · 4 + 1
То же самое будет со всеми другими тремя последовательными числами.
Задачу можно решить проще, если обозначить через х не первое, а второе (среднее) из искомых чисел. Тогда первое число будет х – 1, а второе х + 1, их произведение – (х + 1) (х – 1). Квадрат среднего числа на единицу больше произведения:
х>2 = (х + 1)(х – 1) + 1
х>2 – 1 = (х + 1)(х – 1).
Получаем всем известную разность квадратов двух выражений, которая истинна при всех значениях х.
174. Если толщина мягкого слоя вишни, равна толщине косточки, которую он окружает, то диаметр вишни в три раза больше диаметра косточки (также и радиус вишни в три раза больше радиуса косточки):
Значит, объем вишни больше объема косточки в 3 · 3 · 3 = 27 раз (ведь объем шарообразных тел рассчитывается по формуле 4/3 πR>3). Таким образом, на долю косточки приходится 1/27 всего объема вишни, а на долю мякоти – 26/27 ее объема, т. е. мягкая часть вишни больше косточки по объему в 26 раз.
175. Рассуждение неверно. В тот момент, когда мы наблюдаем Луну или Солнце у горизонта, на восходе или закате, они не только не ближе, но, наоборот, дальше от нас (приблизительно на величину земного радиуса), чем тогда, когда находятся в зените, что хорошо поясняет следующий рисунок: