Иногда, но не всегда, преобразование А не только переводит каждый элемент системы в элемент, но обладает еще тем свойством, что каждый элемент оказывается результатом преобразования одного из элементов. В этом случае существует такое единственное преобразование А^>—1, что каждое из произведений АА^>—1 и А^>—1A представляет собой особое, вырожденное преобразование, которое называется тождественным преобразованием I и преобразует каждый элемент в самого себя. В этом случае мы называем преобразование А^>—1 обратным к преобразованию А. Очевидно, что А обратно к А^>—1, что I обратно к самому себе и что обратное преобразование к АВ есть B^>—1A^>—1.

Существуют множества преобразований, в которых: 1) каждое преобразование, принадлежащее к данному множеству, имеет обратное преобразование, также принадлежащее к этому множеству, и 2) произведение любых двух преобразований, принадлежащих к данному множеству, само принадлежит к этому множеству. Такие множества носят название групп преобразований. [c.107] Множество всех сдвигов или по прямой, или в плоскости, или в трехмерном пространстве есть группа преобразований; более того, оно принадлежит к группам преобразований особого рода, называемым абелевыми группами[132], где любые два преобразования перестановочны. Напротив, множество поворотов около точки и множество всех перемещений твердого тела в пространстве суть неабелевы группы.

Предположим теперь, что имеется какая-то величина, связанная со всеми элементами, преобразуемыми данной группой преобразований. Если эта величина не изменяется, когда каждый элемент изменяется одним и тем же преобразованием группы, каково бы ни было это преобразование, то она называется инвариантом группы. Существует много разновидностей таких инвариантов. Из них для наших целей особенно важны две.

Первая разновидность — так называемые линейные инварианты. Обозначим через х элементы, преобразуемые абелевой группой, и пусть f(x) — комплексная функция этих элементов, обладающая надлежащими свойствами непрерывности или интегрируемости. Тогда, если Тх — элемент, получаемый из х при преобразовании Т, a f(x) — функция с абсолютным значением 1, такая, что

f (Tx) = α(T) f(x),          (2.03)

где α(T) — число с абсолютным значением 1, зависящее только от Т, то f(x) мы будем называть характером группы.

Это инвариант группы в несколько обобщенном смысле. Ясно, что если f(x) и g(x) — характеры группы, то f(x)g(x) также есть характер группы, как и [f(x)]^{> —1}. Если какая-либо функция h(x), определенная на группе, представима линейной комбинацией характеров группы, скажем в виде

где f_>k(x) — характер группы, и если α_>k(T) находится в таком же отношении к f_>k(x), как α(T) — к