Если бы это было возможно – представим, что безрисковая ставка у нас 5 %, а тут нашлась возможность заработать 6 % годовых, тогда я займу под 5 % и вложу всё в шестипроцентную тему. И я буду так делать до скончания веков. Это слишком жирная возможность обогатиться, чтоб её упускать. И один из самых мощных выводов теоретических финансов заключается в том, что ни одна возможность арбитража не держится сколь-нибудь долго.

Это всё равно что сказать, что на тротуаре обычно не валяются купюры в 1000 рублей. Идёшь по Тверской – там косарик в луже лежит. Думаешь – ну, наверное, это какой-то подвох. Кто-то бы точно подобрал! У американских африканцев даже игра есть такая – пять баксов привязывают к леске и дёргают, как только кто-то за ними потянется. Но это я не из-за расизма, а проиллюстрировать, что деньги обычно на дороге не валяются.

Это означает, что, если цена на опцион не следует формуле, на рынке что-то не так. Интересно, что нам не нужна вероятность падения или роста рынка, чтобы оценить наш опцион. Кто-то скажет: погодите, у меня тут интуиция и я хочу купить опцион, потому что он может принести деньги. Когда речь шла о котировках из газеты, там за 45 центов можно было купить опцион колл со страйком 25 – дёшево, потому что вряд ли цена акции уйдёт так сильно выше, она же сейчас стоит всего $21,85. Кажется, что опцион должен быть фундаментально привязан к вероятности попасть в деньги, но это не так. Никакой вероятности тут не зашито. Факт в том, что не нужно знать вероятность попадания опциона в деньги, чтобы выставить на него цену, потому что её можно определить исходя из безрисковых условий. Это, пожалуй, контринтуитивно, зато интересно.

Эти рассуждения приводят к знаменитой формуле опционов Блэка – Шоулза. Её придумали в семидесятых годах Фишер (что за имя – Фишер?!) Блэк и Майрон Шоулз. Блэк уже умер, а Шоулз вполне себе здравствует и даже получил нобелевку (сразу за двоих). Они вообще, эти придумщики, страсть какие живучие.

Приводить её здесь нет большого смысла, но факт в том, что, имея цену акции, время до истечения опциона, ставку, цену исполнения, волатильность (квадратный корень из дисперсии) акции, можно посчитать цену опциона.

Давайте-таки попробуем оценить опционы по модели Блэка – Шоулза. Формула происходит из отсутствия возможностей арбитража и не включает в себя вероятность. Но у неё есть сигма – стандартное отклонение изменений цены базового актива (акции) и кое-что ещё – предположение, что изменения цен распределены нормально, то есть по гауссиане.

Кто-то может сказать, что теорвер таки прокрался сквозь заднюю дверь, потому что там есть взвешенная вероятность изменения цен на акции. Хотя в действительности неопределённости тут никакой нет – есть только стандартное отклонение. Хотя и прошлых периодов. Про будущие-то мы ничего не знаем.

Перейдём к подразумеваемой волатильности. Уравнение ведь можно использовать двумя способами. Традиционный – это посчитать, сколько должен стоить опцион, чтобы понять, не платите ли вы за него слишком много или слишком мало. Достаточно знать цену акции, цену исполнения и дату экспирации. Надо посмотреть ставку и подсчитать стандартное отклонение изменений цен на акцию. Тогда можно получить цену опциона.