Таким образом, вероятность состояния с равномерным распределением оказывается наибольшей по сравнению со всеми другими возможными состояниями, и все естественные процессы направлены в сторону достижения этого наиболее вероятного состояния. Но мы также знаем, что в результате всех природных процессов происходит увеличение энтропии. Напрашивается вывод, что между вероятностью существования данного состояния и энтропией должна существовать связь. Эта связь действительно существует, и впервые её охарактеризовал Л. Больцман. Он имел в виду термодинамические процессы, а мы будем рассуждать в рамках наших ячеек и шариков.

Будем называть, как это сделал Больцман, наши состояния I–V макросостояниями. Макросостояние определяется тем, сколько шариков находится в данной ячейке, и не интересуется тем, какие шарики там находятся. В противоположность этому микросостояние определяется тем, какие именно шарики в какой ячейке находятся. Понятно, что, для того чтобы определить микросостояние, требуется более глубокое и внимательное изучение (например, цифры на шариках могут быть едва заметными), поэтому оно так и называется. Разным макросостояниям соответствует различное число микросостояний. Чем более равномерным является распределение шариков по ячейкам, тем больше вероятность такого макросостояния и тем больше микросостояний ему соответствует. Но для такого состояния характерна и наибольшая энтропия. Из этого Больцман сделал вывод, что энтропию данного макросостояния можно измерить числом микросостояний, которым оно определяется. Более точно, энтропия пропорциональна логарифму этого числа. В физике энтропию принято обозначать буквой S, поэтому формулу, выведенную Больцманом, можно представить так:

S = klog W,

где k – коэффициент пропорциональности, а W – число микросостояний, соответствующих данному макросостоянию.

Состояние I, так же как и состояние V, определяется единственным микросостоянием. Так как логарифм единицы по любому основанию равен нулю, то и энтропия этих состояний равна нулю. Это значит, что в этих состояниях существует абсолютный порядок. Число микросостояний, которые определяют макросостояния I и IV, равно четырём, а значит, энтропия каждого из них равна log 4. Величина этого логарифма зависит от того, какое основание для логарифмирования мы выберем. Вообще говоря, основание может быть любым, так как в зависимости от этого изменится только коэффициент пропорциональности. Но по причинам, о которых вы узнаете в дальнейшем, нам будет удобно выбрать основание 2. Тогда энтропия макросостояний I и IV будет равна двум. Самым «беспорядочным» из наших макросостояний будет состояние III, которое может осуществиться шестью микросостояниями. Следовательно, энтропия этого, наиболее вероятного, состояния равна логарифму 6 по основанию 2, что составляет приблизительно 2,6.

1. Что такое макро– и микросостояние?

2. Чему равна энтропия макросостояния, которое обеспечивается единственным микросостоянием?

3. Почему макросостояние, при котором число шариков в каждой ячейке одинаково, оказывается наиболее вероятным?