К задаче 2-й

Вот несколько новых задач, кроме той, которая приведена выше.

Задача 2-я. Исходя из расположения, показанного на схеме I, привести шашки в правильный порядок, но со свободным полем в левом верхнем углу (см. чертеж). Задача 3-я. Исходя из расположения схемы I, поверните коробку на четверть оборота и передвигайте шашки до тех пор, пока они не примут расположения чертежа.

К задаче 3-й

Задача 4-я. Передвижением шашек превратите коробку в „магический квадрат“, а именно: разместите шашки так, чтобы сумма чисел была во всех направлениях равна 30».

РЕШЕНИЯ

Расположение задачи 2-й может быть получено из начального положения следующими 44 ходами:

14, 11, 12, 8, 7, 6, 10, 12, 8, 7

4, 3, 6, 4, 7, 14, 11, 15, 13, 9

12, 8, 4, 10, 8, 4, 14, И, 15, 13

9, 12, 4, 8, 5, 4, 8, 9, 13, 14

10, 6, 2, 1.

Расположение задачи 3-й достигается следующими 39 ходами:

14, 15, 10, 6, 7, 11, 15, 10, 13, 9

5, 1, 2, 3, 4, 8, 12, 15, 10, 13

9, 5, 1, 2, 3, 4, 8, 12, 15, 14

13, 9, 5, 1, 2, 3, 4, 8, 12.

Магический квадрат с суммою 30 получается после ряда ходов:

12, 8, 4, 3, 2, 6, 10, 9, 13, 15

14, 12, 8, 4, 7, 10, 9, 14, 12, 8

4, 7, 10, 9, 6, 2, 3, 10, 9, 6

5, 1, 2, 3, 6, 5, 3, 2, 1, 13

14, 3, 2, 1, 13, 14, 3, 12, 15, 3.

Приведем замечание немецкого математика Шуберта о числе возможных задач при «игре в 15».

«Сколько всего возможно задач, т. е. сколько различных расположений можно дать 15 шашкам, причем каждый раз пустое поле расположено справа внизу? Чтобы определить, сколько перестановок можно получить с помощью 15 предметов, начнем с 2-х предметов: а и Ь. Они могут дать лишь две перестановки, именно — ab и Ьа. При трех предметах имеется уже втрое больше перестановок, т. е. 6, так как предмет „а“ может быть поставлен перед Ьс и перед cb, и, кроме того, имеются еще две перестановки, начинающиеся с Ь, и две, начинающиеся с с. Отсюда можно заключить, что четыре предмета а, Ь, с, d могут дать вчетверо большее число различных перестановок, т. е. 4 × 3 × 2 = 24 перестановки. Продолжая так, можно найти, что 15 шашек допускают всего

2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 × 8 × 9 × 10 × 11 × 12 × 13 × 14 × 15

перестановок. Вычислив это произведение, мы найдем для числа задач игры внушительное число:

1 биллион 307 674 миллиона 365 000».

Из этого огромного числа задач ровно половина принадлежит к разрешимым и столько же — к неразрешимым. Заметим еще, что если бы возможно было ежесекундно давать шашкам новое положение, то, чтобы перепробовать все возможные расположения, потребовалось бы, при непрерывной работе круглые сутки, свыше 40 000 лет.

Лет 20 тому назад в Берлине подвизался искусный счетчик, предлагавший публике такую задачу (переделываем ее на русский лад):

«Кто сможет уплатить 5 рублей, 3 рубля или 2 рубля полтинниками, двугривенными и пятаками, всего 20-ю монетами, — тому будет выдано наличными деньгами сто рублей».

Посетителям вручались необходимые монеты, — конечно, заимообразно. Но обещанная сотня рублей должна была остаться навсегда в руках счастливца, которому удалось бы решить задачу.