стремится к бесконечности, оно сходится по вероятности к истинной средней отдаче m. Хотя закон больших чисел применим к набору событий i, строго различимых во времени, он допускает (некоторую) независимость – и, конечно, независимость от пути.

Теперь рассмотрим последовательность

, в которой каждому параметру состояния присвоен индекс момента времени t: 0 < t < T. Допустим, что «моменты времени» взяты из точно такого же распределения вероятностей: P(

) = P

.

Определим вероятность по времени как эволюцию во времени для отдельного агента i.

В присутствии конечной, то есть необратимой катастрофы всякое последующее наблюдение зависит от некоего свойства предыдущего: то, что происходит в момент t, зависит от t – 1, то, что происходит в момент t – 1, зависит от t – 2 и так далее. Мы установили зависимость от пути.

Теперь сформулируем исчезновение эргодичности:

Теорема 1 (неравенство континуума состояний). Пусть

 и – ожидание по пространству состояний для статического начального периода t, а  – ожидание по времени для всякого агента i, обе формулы получены через слабый закон больших чисел. Тогда:

Доказательство:

,

где

 – индикаторная функция, требующая выживания в предыдущий период. Границы n для t показывают уменьшение ожидания по времени: .

На деле мы можем доказать и расхождение.

Как можно видеть, если T < ∞, по закону повторных ожиданий мы получаем неравенство для всех Т.

Мы видим наличие ансамбля рискующих индивидов, ожидающих отдачи m

, в любой период t, в то время как каждый отдельный рискующий индивид в конце концов гарантированно разорится.

Другие подходы. Мы можем подойти к доказательству с точки зрения более формальной теории меры и показать, что пространственные множества для «некатастрофы»

не пересекаются, а временные – наоборот. Доказательство основано на том, что для меры :

 не обязательно равно .

Почти ни в одной статье на тему актуарной «переоценки» хвостового риска через опции (см. обзор в Barberis 2003) нет неравенства теоремы 1. Очевидно, статьи основываются на том, что агент принимает только одно решение и проходит через один момент риска. Проще говоря, научные статьи, постулирующие «предвзятость», исходят из того, что агенты более не примут ни одного решения за всю оставшуюся жизнь.

Обычно зависимость от пути – если наблюдается зависимость от катастрофы – устраняется введением функции Х, позволяющей среднему по ансамблю (не зависящему от пути) совпадать по свойствам со средним по времени (оно зависит от пути) – или средним, сопряженным с выживанием. Отличным кандидатом на такую функцию видится натуральный логарифм. Следовательно,

 log (X_>i) и  log (X_>t) входят в один и тот же вероятностный класс; значит, вероятностная мера одного инвариантна и для другого – это и называется эргодичностью. В этом смысле, анализируя риск и результаты в условиях катастрофы, необходимо использовать логарифмическое преобразование (Peters 2011) или ограниченность левого хвоста (Kelly 1956), максимизируя возможности правого хвоста (Gell-Mann 2016) или ограниченность левого хвоста (Geman et al. 2015).