3. Свойство коммутативности:
1) для операции объединения:
r>1 ∪ r>2 = r>2 ∪ r>1;
2) для операции пересечения:
r ∩ r = r ∩ r;
3) для операции разности:
r>1 \ r>2 ≠ r>2 \ r>1;
4) для операции декартового произведения:
r>1 × r>2 = r>2 × r>1;
5) для операции естественного соединения:
r>1 × r>2 = r>2 × r>1.
Свойство коммутативности выполняется для всех операций, кроме операции разности. Это легко понять, ведь от перестановки отношений местами их состав (кортежи) не меняется. А при применении операции разности важно, какое из отношений-операндов стоит на первом месте, потому что от этого зависит, кортежи какого отношения примутся за эталонные, т. е. с какими кортежами будут сравниваться другие кортежи на предмет исключения.
4. Свойство ассоциативности:
1) для операции объединения:
(r>1 ∪ r>2) ∪ r>3 = r>1 ∪(r>2 ∪ r>3);
2) для операции пересечения:
(r>1 ∩ r>2) ∩ r>3 = r>1 ∩ (r>2 ∩ r>3);
3) для операции разности:
(r>1 \ r>2) \ r>3 ≠ r>1 \ (r>2 \ r>3);
4) для операции декартового произведения:
(r>1 × r>2) × r>3 = r>1 × (r>2 × r>3);
5) для операции естественного соединения:
(r>1 × r>2) × r>3 = r>1 × (r>2 × r>3).
И снова мы видим, что свойство выполняется для всех операций, кроме операции разности. Объясняется это таким же образом, как и в случае применения свойства коммутативности. По большому счету, операциям объединения, пересечения, разности и естественного соединения все равно в каком порядке стоят отношения-операнды. Но при «отнимании» отношений друг от друга порядок играет главенствующую роль.
На основании вышеприведенных свойств и рассуждений можно сделать следующий вывод: три последних свойства, а именно свойство идемпотентности, коммутативности и ассоциативности, верны для всех рассмотренных нами операций, кроме операции разности двух отношений, для которой не выполнилось вообще ни одно из трех означенных свойств, и только в одном случае свойство оказалось неприменимым.
4. Варианты операций соединения
Используя как основу рассмотренные ранее унарные операции выборки, проекции, переименования и бинарные операции объединения, пересечения, разности, декартова произведения и естественного соединения (все они в общем случае называются операциями соединения), мы можем ввести новые операции, выведенные с помощью перечисленных понятий и определений. Подобная деятельность называется составлением вариантов операций соединения.
Первым таким вариантом операций соединения является операция внутреннего соединения по заданному условию соединения.
Операция внутреннего соединения по какому-то определенному условию определяется как производная операция от операций декартового произведения и выборки.
Запишем формульное определение этой операции:
r>1(S>1) × >Pr>2(S>2) = σ <P> (r>1 × r>2), S>1 ∩ S>2 = ∅;
Здесь P = P <S>1 ∪ S>2> – условие, накладываемое на объединение двух схем исходных отношений-операндов. Именно по этому условию и происходит отбор кортежей из отношений r>1 и r>2 в результирующее отношение.
Следует отметить, что операция внутреннего соединения может применяться к отношениям с разными схемами отношений. Эти схемы могут быть любыми, но они ни в коем случае не должны пересекаться.