Не нужно большой проницательности, чтобы сообразить, что проделанные со спичками операции, в сущности, те же самые, какие мы выполнили бы, если бы хотели выразить число спичек в коробке по двоичной системе счисления; окончательная же схема прямо изображает это число в двоичной системе, если пустые бумажки принять за нули, а бумажки, отмеченные сбоку спичкой, – за единицы. Читая схему снизу вверх, получаем

То есть в десятичной: 64 + 2 = 66.

Если бы в коробке было 57 спичек, мы имели бы иные схемы.

Искомое число, написанное по двоичной системе:

А в десятичной: 33 + 16 + 8 + 1 = 57.

Для разнообразия можно также пользоваться двумя и более спичечными коробками и отгадывать сумму заключающихся в них спичек.

Третье видоизменение того же фокуса представляет собою своеобразный способ отгадывания задуманного по спичкам. Загадавший должен мысленно делить задуманное число пополам, полученную половину опять пополам и т. д. (от нечетного числа отбрасывая единицу), при каждом делении класть перед собой спичку: направленную вдоль стола, если делится число четное; поперек, если приходится делить нечетное. К концу операции получается фигура вроде следующей:

Вы всматриваетесь в эту фигуру и безошибочно называете задуманное число: 137. Как вы узнаете его?

Способ станет ясен сам собою, если в выбранном примере (137) мы последовательно обозначим возле каждой спички то число, при делении которого она была положена:

Теперь понятно, что так как последняя спичка во всех случаях обозначает число 1, то не составляет труда, восходя от нее к предшествующим делениям, добраться до первоначально задуманного числа. Например, по фигуре

вы можете вычислить, что задумано было число 664. В самом деле, выполняя последовательно удвоения (начиная с конца) и не забывая прибавлять в надлежащих местах единицу, получаем:

Таким образом, пользуясь спичками, вы прослеживаете ход чужих мыслей, восстановляя всю цепь умозаключений.

Тот же результат мы можем получить иначе, сообразив, что лежащая спичка в данном случае должна соответствовать в двоичной системе нулю (деление на 2 без остатка), а стоящая – единице. Таким образом, в предшествовавшем примере мы имеем (читая справа налево) число

или в десятичной системе так:

128 + 8 + 1 = 137.

А в последнем примере задуманное число изображается по двоичной системе:

или по десятичной:

512 + 128 + 16 + 8 + 1 = 664.

Еще пример. Какое число было задумано, если из спичек получилась фигура:

Решение: 10010101 в двоичной системе, а в десятичной:

128 + 16 + 4+ 1 = 139.

Необходимо заметить, что получаемая при последнем делении единица также должна быть отмечаема стоящей спичкой.

У некоторых читателей, вероятно, возник уже вопрос: почему для выполнения описанных раньше опытов мы пользуемся именно двоичной системой? Ведь всякое число можно изобразить в любой системе, между прочим, и в десятичной. Чем же объясняется предпочтение двоичной?

Объясняется оно тем, что в этой системе, кроме нуля, употребляется всего одна цифра – единица, а следовательно, число составляется из различных степеней 2, взятых только по одному разу. Если бы в фокусе с конвертами мы распределили деньги, например, по 5-ричной системе, то могли бы составить, не вскрывая конвертов, любую сумму лишь в том случае, когда каждый пакет повторяется у нас не менее 4 раз (в 5-ричной системе, кроме нуля, употребляются ведь 4 цифры).