Шесть единиц
В соседней витрине мы видим другую диковинку арифметической консткамеры, число
111111 = 111 × 1001.
Но 111 = 3 × 37, а 1001 = 7 × 11 × 13. Отсюда следует, что наш новый числовой феномен, состоящий из одних лишь единиц, представляет собою произведение пяти простых множителей. Соединяя же эти 5 множителей в две группы на всевозможные лады, мы получаем 15 пар множителей, дающих в произведении одно и то же число 111111, а именно:
З × (7 × 11 × 13 × 37) = З × 37037 = 111111
7 × (3 × 11 × 13 × 37) = 7 × 15873 = 111111
11 × (3 X 7 X 13 × 37)= 11 X 10101=111111
13 × (3 × 7 × 11 × 37) = 13 × 8547 = 111111
37 × (3 × 7 × 11 × 13) = 37 × 3003 = 111111
(3 × 7) × (11 × 13 × 37) = 21 × 5291 = 111111
(3 × 11) × (7 × 13 × 37) = 33 × 3367 = 111111
и т. д.Это значит, что вы можете засадить общество из 15 человек за работу умножения, и хотя каждый будет перемножать другую пару чисел, все получат один и тот же оригинальный результат: 111111. То же число, наконец, пригодно и для отгадывания задуманных чисел – наподобие того, как выполняется это с помощью чисел 1001 и 10101. В данном случае нужно предлагать задумывать число однозначное, т. е. цифру, и повторять 6 раз. Делителями здесь могут служить пять простых чисел: 3, 7, 11, 13, 37 и получающиеся из них составные: 21, 33, 39 и т. д. Это дает возможность до крайности разнообразить выполнение фокуса.
Числовые пирамиды
В следующих витринах галереи нас поражают числовые достопримечательности совсем особого рода – некоторое подобие пирамид, составленных из чисел. Рассмотрим поближе первую из таких пирамид.
Как объяснить эти своеобразные результаты умножения, эту странную закономерность?
Возьмем для примера какой-нибудь из средних рядов нашей числовой пирамиды 123456 × 9 + 7. Вместо умножения на 9 можно умножить на (10 – 1), т. е. приписать 0 и вычесть умножаемое:
Достаточно взглянуть на последнее вычитание, чтобы понять, почему тут получается результат, состоящий только из одних единиц.
Мы можем также понять это, исходя и из других рассуждений. Чтобы число вида 12345… превратилось в число вида 11111… нужно из второй его цифры вычесть 1, из третьей – 2, из четвертой – 3, из пятой – 4 и т. д. – иначе говоря, вычесть из него то же число вида 12345… но вдесятеро меньшее и предварительно уменьшенное на последнюю цифру. Теперь понятно, что для получения искомого результата нужно наше число умножить на 10, прибавить к нему следующую за последней цифру и вычесть из результата первоначальное число (умножить на 10 и отнять множимое значит умножить на 9). Сходным образом объясняется образование и следующей числовой пирамиды,