Как поверять по этому способу деление? Если у нас случай деления без остатка, то делимое рассматривается, как произведение делителя на частное. В случае же деления с остатком пользуются тем, что делимое = делителю x частное + остаток. Например:

Выписываю из «Арифметики» Магницкого предлагаемое там для поверки девяткой удобное расположение:

Д л я у м н о ж е н и я:

Д л я д е л е н и я:

Подобная поверка действий, без сомнения, не оставляет желать лучшего в смысле быстроты и удобства. Нельзя сказать того же о ее надежности: ошибка может и ускользнуть от нее. Действительно, ведь одну и ту же сумму цифр могут иметь разные числа; не только перестановка цифр, но иной раз даже и замена одних другими остаются при такой поверке необнаруженными. Укрываются от контроля также лишние девятки и нули, потому что не влияют на сумму цифр. Всецело полагаться поэтому на такой прием поверки было бы неосмотрительно. Предки наши сознавали это и не ограничивались одною лишь поверкой с помощью девятки, но производили еще дополнительную поверку - чаще всего с помощью семерки. Этот прием основан на том же «правиле остатков» (стр. 174), но не так удобен, как способ девятки, потому что деление на 7 приходится выполнять полностью, чтобы найти остатки (а при этом легко возможны ошибки в действиях самой поверки). Две поверки - девяткой и семеркой - уже являются гораздо более надежным контролем: что ускользнет от одной, будет уловлено другою. Ошибка не обнаружится лишь в том случае, если разность истинного и полученного результатов кратна числу 7x9 = 63. Так как подобная случайность все же возможна, то и двойная поверка не дает полной уверенности в правильности результата.

Впрочем, для обычных вычислений, где ошибаются чаще всего на 1 или 2 единицы, можно ограничиться только поверкою девяткой. Дополнительная поверка семеркой чересчур обременительна. Только тот контроль хорош, который не мешает работе.

Старинные способы умножения были неуклюжи и неудобны, - но так ли хорош наш нынешний способ, чтобы в нем невозможны были уже никакие дальнейшие улучшения? Нет, наш способ безусловно не является совершенным; можно придумать еще более быстрые или еще более надежные. Из нескольких предложенных улучшений (ср. гл. VII) укажем пока одно, увеличивающее не быстроту выполнения действия, а его надежность. Оно состоит в том, что при многозначном множителе начинают с умножения не на последнюю, а на первую цифру множителя. Выполненное на стр. 175-й умножение 8713 x 264 примет при этом такой вид:

Преимущество подобного расположения в том, что цифры частных произведений, от которых зависят первые, наиболее ответственные цифры результата, получаются в начале действия, когда внимание еще не утомлено и, следовательно, вероятность сделать ошибку наименьшая. (Кроме того, способ этот упрощает применение так называемого «сокращенного» умножения, о котором мы здесь распространяться не можем[55].)

Вы не можете выполнить умножения многозначных чисел - хотя бы даже двузначных, - если не помните наизусть всех результатов умножения однозначных чисел, т. е. того, что называется таблицей умножения. В старинной «Арифметике» Магницкого, о которой мы раньше упоминали, необходимость твердого знания таблицы умножения воспета в таких - надо сознаться, чуждых для современного слуха - стихах: