Число возможных комбинаций, образующих совокупность — общее число возможных исходов, — оказывается значительно большим, чем общее число граней на двух костях. Заметив решающую роль комбинаций чисел, Кардано сделал гигантский шаг на пути разработки вероятностных законов.

Игра в крепс дает полезную иллюстрацию важности комбинаций в вычислении вероятностей. Как продемонстрировал Кардано, бросание пары шестигранных костей дает не одиннадцать (от двух до двенадцати), а тридцать шесть возможных комбинаций, от «змеиных глаз» (один-один) до «вагончиков» (шесть-шесть).

Семерку, ключевое число в крепсе, выбросить легче всего. Она в шесть раз более вероятна, чем дубль-один или дубль-шесть, и в три раза более вероятна, чем одиннадцать, другое ключевое число. Шесть возможных исходов, дающих семерку, суть следующие: 6 + 1, 5 + 2, 4 + 3, 3 + 4, 2 + 5 и 1 + 6; заметьте, что эти исходы есть не что иное, как варианты представления сумм трех различных комбинаций — 5 и 2, 4 и 3, 1 и 6. Одиннадцать получается только в двух исходах, потому что образуется из двух вариантов представления суммы одной комбинации: 5 + 6 и 6 + 5. Есть только по одному варианту для представления дублей — от один-один до шесть-шесть. Игроки в крепс повысят свой класс, если запомнят следующую таблицу:

В триктрак, другой игре, в которой игроки бросают две кости, числа на каждой кости могут или складываться, или рассматриваться порознь. Это значит, что, если, например, брошены две кости, 5 может получиться пятнадцатью разными путями:

Вероятность выбросить пятерку равна ^>15/_>36 или 42%^>[15].

Здесь важна семантика. По определению Кардано, вероятность некоего исхода есть отношение числа благоприятных исходов к общему числу возможных исходов. Шансы (odds) некоего исхода есть отношение числа благоприятных исходов к числу неблагоприятных исходов. Шансы, разумеется, зависят от вероятности, и их удобнее использовать при заключении пари.

Если вероятность выбросить пятерку в триктрак равна 15 удачным броскам на каждые 36 бросков, то шансы выбросить пятерку равны отношению 15 к 21. Если вероятность выбросить 7 в крепсе равна одному удачному на каждые шесть бросков, то шансы выбросить число, отличное от 7, равны 5 к 1. Это значит, что вы должны ставить не более одного доллара за то, что в следующем броске выпадет 7, если ваш партнер поставил 5 долларов против. При подбрасывании монеты орел выпадает с вероятностью один к двум. Поскольку шансы выбросить орел и решку равны, никогда не ставьте больше, чем ваш партнер по игре. Если шансы в заезде на бегах оцениваются как 1 к 20, теоретическая вероятность того, что ваша кляча победит, оценивается как 1 из 21, или 4,8%, т. е. менее 5%.

Мы никогда не узнаем, писал ли Кардано «Liber de Ludo Aleae» как учебник для игроков или как теоретический труд по теории вероятностей. Учитывая место игры в его жизни, правила игры могли послужить только поводом для этой работы, но мы не беремся с уверенностью это утверждать. Игра — идеальная лаборатория для проведения экспериментов по квантификации риска. Необыкновенная интеллектуальная любознательность Кардано и набор математических принципов, которые он имел смелость охватить в «Ars Magna», позволяют предположить, что он мог искать нечто большее, чем путь к выигрышу за игорным столом.