Когда же машинист уплатил долг, крестьянка «сняла колдовство», посыпав смазанные рельсы песком.

История эта, конечно, могла произойти только в давнее время; на современных паровозах имеются специальные песочницы, из которых машинист с помощью особого приспособления высыпает песок на рельсы, когда они становятся скользкими, например, от дождя.

3. Задача решалась бы очень просто, если бы было известно, сколько времени понадобилось шмелю на перелет из сада в родное гнездо. Этого в задаче не сказано, но геометрия поможет нам самим узнать необходимые данные.

Начертим путь шмеля. Мы знаем, что шмель летел сначала «прямо на юг» в течение 60 мин. Затем он летел 45 мин «на запад», т. е. под прямым углом к прежнему пути. Оттуда «кратчайшей дорогой», т. е. по прямой линии – обратно к гнезду. У нас получился прямоугольный треугольник ABC, в котором известны оба «катета», AB и ВС, и надо определить третью сторону, – «гипотенузу» АС.

Рис. 4. Маршрут шмеля

Геометрия учит, что если какая-нибудь величина содержится в одном катете 3 раза, а в другом – 4 раза, то в третьей стороне – гипотенузе – та же величина должна содержаться ровно 5 раз.

Например, если катеты треугольника равны 3 и 4 м, то гипотенуза равна 5 м; если катеты равны 9 и 12 км, то третья сторона равна 15 км и т. п. В нашем случае один катет равен 3 х 15 мин пути, другой -4 × 15 мин пути; значит, гипотенуза АС равна 5 × 15 мин пути. Итак, мы узнали, что из сада к гнезду шмель летел 75 мин, то есть 1^>1/_>4 часа.

Теперь легко уже подсчитать, сколько времени шмель отсутствовал. На перелеты он потратил:

1 час + ^>3/_>4 часа + 1^>1/_>4 часа = 3 часа.

На остановки у него ушло времени:

^>1/_>2 часа + 1^>1/_>2 часа = 2 часа.

Итого: 3 часа + 2 часа = 5 часов.

4. Поверхность крышки равна произведению длины ящика и его ширины; поверхность боковой стенки равна высоте × ширину; поверхность передней стенки – высоте × длину. Таким образом,

длина × ширина = 120;

высота × ширина = 80;

высота × длина = 96.

Перемножим первые два равенства. Получим:

длина × высота × ширина × ширина = 120 × 80.

Разделим это новое равенство на 3-е:

Сократив дробь и произведя действия, имеем:

ширина × ширина =100.

И, следовательно, ширина ящика равна 10 см. Зная это, легко определить, что высота ящика равна:

80/10 = 8 см,

а его длина = 96/8 = 12 см.

5. Вы не решите этой простой задачи, если не уясните себе сначала, из чего складывается длина цепи. Всмотритесь в рис. 5.

Рис. 5. Звенья цепи

Вы видите, что длина натянутой цепи складывается из полной ширины первого звена, к которой с присоединением каждого нового звена прибавляется не полная ширина звена, а ширина звена без его двойной толщины.

Теперь перейдем к нашей задаче.

Мы знаем, что одна цепь длиннее другой на 14 см и имеет на 6 звеньев больше. Разделив 14 на 6, получаем 2^>1/_>3. Это и есть ширина одного звена, уменьшенная на двойную его толщину. Так как толщина кольца известна – полсантиметра, то полная ширина каждого звена равна 2^>1/_>3 + ^>1/_>2 + ^>1/_>2 + З^>1/_>3 сантиметра.

Теперь легко определить, из скольких звеньев состояла каждая цепь. Из рисунка видно, что если мы отнимем от 36-сантиметро-вой цепи двойную толщину первого звена, т. е. 1 см, а разность разделим на 2