Можно нагреть предмет, повысить его температуру, а затем останется определить: какова новая температура? Затем мы возвращаемся к нашим кривым и смотрим, какой график соответствует новой температуре. Есть чудесное уравнение, описывающее эти кривые. Они являются функциями распределения и также именуются планковскими функциями в честь Макса Планка, который первым вывел уравнения для них. В правой части уравнения имеем энергию в единицу времени на единицу площади на единичный интервал длин волн при конкретной длине волны; эта величина называется «интенсивность» (Iλ) и зависит только от температуры T абсолютно черного тела:

I_>λ (T) = (2hc^>2/ λ^>5)/(e^>hc/ λ^>kT – 1).

Давайте разберемся, какие элементы входят в это эпохальное уравнение. Во-первых, здесь есть λ (лямбда), это длина волны, с ней все понятно. Постоянная e – это основание натуральных логарифмов, под нее выделена специальная клавиша на любом инженерном калькуляторе, на которой обычно написано «e^>x» (e в степени x). Значение числа e равно 2,71828…; как и в числе π, в нем бесконечное количество десятичных знаков. Это просто число. Буква c означает скорость света, с ней мы уже встречались. Буква k – это постоянная Больцмана. Буква T – это просто температура, а буква h означает постоянную Планка, с которой мы познакомились в главе 4. Если присвоить объекту температуру T, то единственным неизвестным в уравнении остается λ – длина волны. Так, постепенно присваивая λ разные значения, от очень малых до очень больших, мы получаем значение I_>λ. Это будет функция от длины волны, строго повторяющая показанные кривые. Макс Планк предложил это уравнение в 1900 году, и оно произвело революцию в физике.

Предложив свою постоянную, Планк положил начало квантовой физике; в то же время Макс Планк является и отцом-основателем квантовой механики. Обратите внимание на первый член в скобках: 2hc^>2/λ^>5. Что происходит с энергией по мере увеличения длины волны? Она падает. С ростом λ член 1/λ^>5 стремится к нулю. При больших λ член hc/λkT уменьшается. Математик сказал бы, что e^>xпо мере уменьшения x становится примерно равен 1 + x.Так, при больших λ член hc/λkT уменьшается, а член e^>hc/λ^>kTстановится примерно равен 1 + hc/λkT, и, если вычесть отсюда 1, член (ehc/λkT–1) становится равен hc/λkT. Соответственно в пределе, когда λ становится большим, все выражение приобретает вид Iλ(T) = (2hc^>2/λ^>5)/(hc/λkT)= 2ckT/λ^>4. Это тождество было известно и до Планка. Оно называлось «Закон Рэлея – Джинса» в честь открывших его лорда Рэлея и сэра Джеймса Джинса. По мере роста λ интенсивность Iλ начинает падать в строгом соответствии с формулой 1/λ^>4.Что происходит, когда мы двигаемся в сторону все более коротких волн? По мере уменьшения λ^>4 1/λ^>4 возрастает, в результате чего уравнение рушится (перестает согласовываться с экспериментами). В свое время это явление было названо «ультрафиолетовая катастрофа». Здесь явно была какая-то ошибка. Вильгельм Вин сформулировал закон, объяснявший экспоненциальный спад при малых длинах волн и согласовывавшийся с данными в коротковолновом диапазоне, но не согласовывавшийся в длинноволновом. Мы не имели четкого представления об этих температурных кривых абсолютно черного тела вплоть до 1900 года, когда Макс Планк вывел формулу, согласовывавшуюся с данными и в коротковолновом, и в длинноволновом пределе спектра, а также везде между ними. Формула содержит постоянную