Даже рассмотрев все эти звезды в ночном небе и заметив, что среди них попадаются размытые объекты, напоминающие облака тумана, мы еще не вполне представляли себе Вселенную вплоть до начала XX века. К тому времени звездный свет уже пропустили через призму, разложили и посмотрели, какими характеристиками он обладает. Тогда стало известно, что некоторые звезды можно использовать в качестве «эталонных источников света». Давайте об этом подумаем. Если бы все звезды в небе были совершенно одинаковы – например, нарезаны формочкой для печенья и заброшены на небо, – то сравнительно тусклые обязательно находились бы дальше сравнительно ярких. Все было бы просто. Все яркие звезды – близко. Все тусклые звезды – далеко. Но на деле все иначе. Среди всего этого звездного многообразия, независимо от того, где какие звезды расположены, мы ищем и находим звезды одной и той же категории. Итак, если найдется звезда, для спектра которой характерна какая-то специфическая особенность, и эта звезда находится достаточно близко, чтобы можно было измерить ее параллакс, – нам повезло. Теперь мы можем взять ее светимость в качестве отсчетной и определить яркость других подобных ей звезд как «вчетверо меньше» или «вдевятеро меньше», а затем вычислить, как далеко они находятся. Но сперва надо найти такой эталонный источник, мерило. Вплоть до 1920-х годов таких мерил не было. До тех пор мы совершенно не представляли, насколько удалены от нас те или иные тела во Вселенной. На самом деле, в книгах того времени Вселенная описывается просто как «область, заполненная звездами», о более крупной Вселенной за пределами этой области ничего не было известно.

Когда пытаешься понять звезды, непременно нужны дополнительные математические инструменты. Один из них – функции распределения. В них заложены мощные и полезные математические идеи. Я хотел бы рассказать о них на простом примере, поэтому давайте начнем с так называемой гистограммы. Например, на такой диаграмме можно распределить количество человек в типичной аудитории американского колледжа в зависимости от их возраста (рис. 4.3).

Чтобы построить такой график, нужно спросить присутствующих, есть ли в аудитории кто-либо в возрасте 16 лет или моложе. Если никто не отзовется, то на графике этим возрастам будут соответствовать нулевые значения. Далее спросим, сколько 17–18-летних. Допустим, наберется 20 человек. Отметим этот возраст планкой, высота которой – ровно 20 единиц. А сколько тех, кому 19–20 лет? Тридцать пять человек. Так и продолжим, пока не учтем всех присутствующих.

Теперь давайте вернемся к рис. 4.3. Гистограмма позволяет кое-что сказать о распределении слушателей по возрасту в типичной аудитории. Например, большинству из них около 20 лет – из графика сразу ясно, что речь идет о группе из колледжа. Затем следует пробел, несколько одиночных значений и еще один всплеск, в районе 75 лет. На этом графике два всплеска, они называются модами. Такое распределение называется бимодальным. Большинство представителей «старшей» группы – никакие не студенты; вероятно, это вольнослушатели. Если человек может в дневное время посещать лекции в колледже, это значит, что он не обязан работать с девяти до шести, то есть это пенсионер. Можно представить себе демографическую картину, просто взглянув на такое распределение. Если бы мы построили такую гистограмму сразу для всего колледжа, то, вероятно, некоторые пробелы заполнились бы, но я готов поспорить, что общая картина осталась бы почти такой же: в основном младшие студенты, небольшое количество пожилых. Чисто случайно могут попадаться подростки-вундеркинды – может быть, один на тысячу, – поскольку, кажется, на каждом новом потоке хоть один да попадется. На такой гистограмме картинка будет повторяться с интервалом в 2 года. Думаю, если бы удалось достаточно увеличить размер выборки и включить в график всех студентов колледжей в США, интервал удалось бы уменьшить до 1 дня. Я мог бы собрать такое количество данных, что столбики на диаграмме вообще перестали бы просматриваться. При таком объеме данных интервалы на диаграмме стали бы слишком узки, и мне пришлось бы перерисовать эту диаграмму в виде сплошной кривой. Если вы переходите от гистограммы к плавной кривой и можете представить ее в математической форме, то гистограмма превращается в функцию распределения.